卡塔兰数列[UniqueBinarySearchTrees]

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

这道题实际上是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子，我们先来看当 n = 1的情况，只能形成唯一的一棵二叉搜索树，n分别为1,2,3的情况如下所示：

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \
              1            2

   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

就跟斐波那契数列一样，我们把n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右字数都是空树，所以1乘1还是1。那么n = 2时，由于1和2都可以为跟，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出：

dp[2] = dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　 (2为根的情况)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] = dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　 (2为根的情况)

　　　 + dp[2] * dp[0]　　 (3为根的情况)

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为：

c[0]=1 ; c[n+1] = sum(c[i]*c[n-i])

最后代码实现为：

public class UniqueBinarySearchTrees {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=dp[1]=1;
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i]+=dp[j]*dp[i-j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }

    @Test
    void fun(){
        System.out.println(numTrees(3));
    }
}